Notes8.3.pdf

9/20/2009 1 Section 8.3 Trigonometric Substitution When To Use? 2 9 x dx? ? 2 1 25 dx x ? ? 1 32 0 4x xdx? ? The method of trig substitution recommends a substitution that rationalizes the integrand in cases like these. Example 2 9 x dx? ? 3sin 3cos Substitute x dx d ? ? ? ? ? ? ? 2 99sin 3cos d? ??? ? 2 9cos d? ? ? ?? 9 1cos2 2 d? ?? ? ???? 2 91 sin 3cos d? ??? ? ?? 2 9cos 3cos d? ?? ? ? ?? ?3cos 3cos d? ?? ? 91 sin2 22 C?? ?? ?? ?? ?? Now resubstitute. Example ? continued 91 sin2 22 C?? ?? ? ? ?? ?? We know:  3sin sin 3 x x ? ? ? ? ? x 3 2 9 x? 1 sin 3 x ? ? ? What is:               ?sin2? sin 3 x ? ? 12 91 9 sin 2 sin 9 22 2 39 xx CxC?? ???? ? ??? ??? ??? ? ??? ? 2 2 9 cos 3 2 sin 2 2sin cos 9 9 x x x ? ??? ? ? ??? Generalize When the factor,               appears in the integrand, use the substitution,                  .  (Equivalently, .)  22 ax? sinxa ?? 1 sin , 22 x a ? ? ?? ? ???? So, sin cos xa dx a d ? ? ? ? ? ?? 22 222 22 22 sin 1sin cos cos cos ax aa a a a a ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? Rationalizing Substitutions Factor Rationalizing Substitution Result 22 ax? sin cos xa dx a d ? ? ? ? ? 1 sin , 22 x a ? ? ?? ? ? ??? 22 cosaxa??? 22 ax? 2 tan sec x a dx a d ? ? ? ? ? 1 tan , 22 x a ? ? ?? ? ? ??? 22 secaxa??? 22 x a? sec tan sec xa dx a d ? ? ?? ? ? 1 3 sec , 0 22 x or a ? ? ??? ? ????? 22 tanxa a??? 9/20/2009 2 Example 2 1 25 dx x ? ? 5sec 5tan sec x dx d ? ? ?? ? ? ? ? 1 5tan sec d??? ? ? x 5 2 25x ? 2 25sec 25? ? 5tan sec 5tan d ? ? ? ? ? sec d? ? ? sec 5 x ? ? 2 25 tan 5 x ? ? ? 2 2 2 25 ln sec tan ln 55 ln 25 ln5 ln 25 xx CC x xC xx C ?? ? ???? ? ????? ???? ln sec tan C???? Example 1 32 0 4x xdx? ? 2 2tan 2sec x dx d ? ? ? ? ? First find antiderivative: 33 32tan sec d? ?? ? sec sec tan u du d ? ? ?? ? ? ,    32 4x xdx? ? ? ? 32 2 8tan 4tan 4 2sec d? ???? ? ? ?? ? 32 8tan 2sec 2sec d? ??? ? 22 32tan sec tan sec d? ???? ? ?? 22 32 sec 1 sec tan sec d? ????? ? ?? 22 32 1uudu? ? ?? 42 32 uudu? ? Example ? continued tan sec 2 x xu? ??? 00 1 _________________ ??? ? 53 53 55 11 32 252553 ?? ?? ???? ?? ?? 411 55 55 32 335 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 32 4 2 432x xdx uudu?? ? ?? 15 1 22 ?? 5 1 32 4 22 01 43x xdx uudu?? ? ?? 5 532 1 32 53 uu?? ?? ?? ?? 64 5 5 15 3 ?? 64 25 5 15 ? ? 1 32 0 64 25 5 4 15 xx dx ? ?? ? Try 1 220 4 dx xx? ? Try 2 19x dx? ? Stacie Microsoft PowerPoint - Section8.3-Trigonometric Substitution